1) 실수 \(a\)와 자연수 \(n\)을 다음과 같이 경우를 나누어 계산한다.
(1) \(a \gt 0\)이고 \(n\)이 홀수일 때, \((-a)^n \lt 0\), \((-a)^{n+1} \gt 0\), \(a^n \gt 0\)이므로 \(f_n((-a)^n) = 1\), \(f_{n+1}((-a)^{n+1}) = 2\), \(f_{n+2}(a^n) = 1\)이다. 따라서
\(f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 1\)이다.
(2) \(a \gt 0\)이고 \(n\)이 짝수일 때, \((-a)^n \gt 0\), \((-a)^{n+1} \lt 0\), \(a^n \gt 0\)이므로 \(f_n((-a)^n) = 2\), \(f_{n+1}((-a)^{n+1}) = 1\), \(f_{n+2}(a^n) = 2\)이다. 따라서
\(f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 4\)이다.
(3) \(a = 0\)이고 \(n\)이 홀수일 때, \(f_n(0) = f_{n+1}(0) = f_{n+2}(0) = 1\)이므로
\(f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 2\)이다.
(4) \(a = 0\)이고 \(n\)이 짝수일 때, \(f_n(0) = f_{n+1}(0) = f_{n+2}(0) = 1\)이므로
\(f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 2\)이다.
(5) \(a \lt 0\)이고 \(n\)이 홀수일 때, \((-a)^n \gt 0\), \((-a)^{n+1} \gt 0\), \(a^n \lt 0\)이므로 \(f_n((-a)^n) = 1\), \(f_{n+1}((-a)^{n+1}) = 2\), \(f_{n+2}(a^n) = 1\)이다. 따라서
\(f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 1\)이다.
(6) \(a \lt 0\)이고 \(n\)이 짝수일 때, \((-a)^n \gt 0\), \((-a)^{n+1} \lt 0\), \(a^n \gt 0\)이므로 \(f_n((-a)^n) = 2\), \(f_{n+1}((-a)^{n+1}) = 1\), \(f_{n+2}(a^n) = 2\)이다. 따라서
\(f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n)) = 4\)이다.
따라서 가능한 최댓값 \(M = 4\), 최솟값 \(m = 1\)이다. 2) 정삼각형의 기하적 성질을 활용합니다.
두 함수 \(y = \log_4(x+k)+1\), \(y = \log_4(-x+k)+1\) 의 그래프의 교점 \(A\)는 두 식을 연립하여 \(x=0\) 일 때이므로
\(A(0, 1+\log_4 k)\) 입니다.
삼각형 \(ABC\)가 정삼각형이고 두 점 \(B, C\)가 \(x\)축 위에 있으므로, 점 \(A\)에서 \(x\)축에 이르는 거리가 정삼각형의 높이 \(h\)가 됩니다.
\(h = 1 + \log_4 k\) 이고 한 변의 길이는 \(\overline{BC} = \frac{2}{\sqrt{3}}h = \frac{2(1+\log_4 k)}{\sqrt{3}}\) 입니다.
주어진 조건인 \(\sqrt{3} \lt \overline{BC} \lt 2\sqrt{3}\) 에 적용하면: \(\sqrt{3} \lt \frac{2(1+\log_4 k)}{\sqrt{3}} \lt 2\sqrt{3}\) 에서 양변에 \(\sqrt{3}\) 을 곱하면
\(3 \lt 2(1+\log_4 k) \lt 6\) 입니다.
\(\frac{3}{2} \lt 1+\log_4 k \lt 3 \implies \frac{1}{2} \lt \log_4 k \lt 2\) 입니다.
이를 풀면 \(4^{1/2} \lt k \lt 4^2 \implies 2 \lt k \lt 16\) 입니다.
따라서 이를 만족하는 \(2\) 이상의 자연수 \(k\)는 \(3, 4, \dots, 15\) 로 총 \(13\)개 입니다.

1) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 도출합니다.
삼각함수의 덧셈정리에 의하여: \(\tan(a_1 - a_2) = \frac{\tan a_1 - \tan a_2}{1 + \tan a_1 \tan a_2} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{12}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{3} = \tan a_2\) 입니다.
\(-\frac{\pi}{2} \lt a_1 - a_2 \lt \frac{\pi}{2}\) 이고 \(0 \lt a_2 \lt \frac{\pi}{2}\) 이므로, 탄젠트 함수의 성질에 의해 \(a_1 - a_2 = a_2 \implies a_1 = 2a_2\) 입니다.
수열 \(\{a_n\}\)이 등비수열이므로
공비는 \(r = \frac{1}{2}\) 이며, 일반항은 \(a_n = a_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) 입니다.
2) 수열 \(\{b_n\}\)의 점화관계를 유도합니다.
조건 (다)에 의해 \(\tan b_{n+1} = \frac{\tan a_n + \tan b_n}{1 - \tan a_n \tan b_n} = \tan(a_n + b_n)\) 입니다.
\(-\frac{\pi}{2} \lt b_{n+1} - b_n \lt \frac{\pi}{2}\) 이므로
\(b_{n+1} - b_n = a_n\) 이 성립합니다.
따라서 \(b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k\) 입니다.
3) 극한을 취해 \(b\)와 \(b_1, a_1\)의 관계를 유도합니다.
\(b = \lim_{n \to \infty} b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k = b_1 + \frac{a_1}{1 - 1/2} = b_1 + 2a_1\) 입니다.
4) 삼각함수 덧셈정리를 적용하여 \(\tan b\)의 값을 구합니다.
배각공식에 의해 \(\tan 2a_1 = \frac{2 \tan a_1}{1 - \tan^2 a_1} = \frac{2 \times 3/4}{1 - 9/16} = \frac{24}{7}\) 입니다.
\(\tan b = \tan(b_1 + 2a_1) = \frac{\tan b_1 + \tan 2a_1}{1 - \tan b_1 \tan 2a_1} = \frac{1/4 + 24/7}{1 - 1/4 \times 24/7} = \frac{103/28}{1/7} = \frac{103}{4}\) 입니다.

1) 대칭성을 파악해 삼차함수 식을 설정합니다.
조건 (가) \(f(x) + f(2a-x) = 2a^2\) 에 의해 곡선 \(y=f(x)\)는 점 \((a, a^2)\)에 대하여 점대칭입니다.
이 곡선을 \(x\)축으로 \(-a\)만큼, \(y\)축으로 \(-a^2\)만큼 평행이동한 \(g(x) = f(x+a) - a^2\) 는 원점 대칭인 기함수가 됩니다.
\(f(x)\)의 최고차항 계수가 \(1\)이므로
\(g(x) = x^3 + bx\) 이며, \(f(x) = (x-a)^3 + b(x-a) + a^2\) 입니다.
2) 조건 (나)에 치환적분을 대입하여 \(a\)의 값을 구합니다.
\(\int_{0}^{2a} f(x) dx\) 에서 \(t = x-a\) 로 치환하면: \(\int_{0}^{2a} f(x) dx = \int_{-a}^{a} (t^3 + bt + a^2) dt = \int_{-a}^{a} a^2 dt = 2a^3\) 입니다.
(기함수 항은 대칭 구간에서 소거됨) 조건 (나)에 의해: \(\int_{0}^{2a} \{f(x) - x\} dx = 2a^3 - \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{2a} = 2a^3 - 2a^2 = 36 \implies a^3 - a^2 - 18 = 0\) 입니다.
\((a-3)(a^2+2a+6) = 0\) 이므로
\(a \gt 1\) 인 실근은 \(a = 3\) 입니다.
따라서 \(\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2(3)^3 = 54\) 입니다.
3) 조건 (다)를 이용해 미지수 \(b\)를 구합니다.
\(a=3\) 이므로
\(f(x+3) = x^3 + bx + 9\) 입니다.
이를 조건 (다)에 대입하면: \(\int_{-1}^{1} (x+5)^2 f(x+3) dx = \int_{-1}^{1} (x^2 + 10x + 25)(x^3 + bx + 9) dx = 440\) 입니다.
구간 \([-1, 1]\)의 대칭성을 이용해 기함수 곱 항들을 지우고 정리하면: \(\int_{-1}^{1} 10x(x^3+bx) dx + 9 \int_{-1}^{1} (x^2+25) dx = 440\) \(20 \int_{0}^{1} (x^4 + bx^2) dx + 18 \int_{0}^{1} (x^2+25) dx = 440\) 이 됩니다.
\(20 \left( \frac{1}{5} + \frac{b}{3} \right) + 18 \left( \frac{1}{3} + 25 \right) = 4 + \frac{20}{3}b + 6 + 450 = 460 + \frac{20}{3}b = 440\) \(\frac{20}{3}b = -20 \implies b = -3\) 입니다.
따라서 \(f'(x) = 3(x-3)^2 + b\) 이므로
\(f'(a) = f'(3) = b = -3\) 입니다.

1) 실수 \(a, b\)의 범위를 구합니다.
\(g(x) = x + \frac{2}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) 라 하면 \(g'(x) = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \ge 0\) 입니다.
\(g'(x) = 0\) 이 되는 점은 실수 전체 중 \(x = 4k+2\) (단, \(k\)는 정수) 뿐이므로
\(g(x)\)는 실수 전체에서 증가하고 역함수가 존재합니다.
\(h(x) = \frac{a e^x - b}{e^x + 1}\) 라 정의하면 주어진 조건은 \(g(f(x)) = h(x)\) 이며, 양변을 미분하면 \(g'(f(x)) f'(x) = h'(x)\) 입니다.
- \(a+b \neq 0\) 일 때 \(h'(x) = \frac{(a+b)e^x}{(e^x+1)^2} \gt 0\) 이므로
모든 실수 \(x\)에 대해 \(g'(f(x)) \neq 0\) 이어야 합니다.
따라서 모든 실수 \(x\)와 정수 \(k\)에 대하여 \(f(x) \neq 4k+2\) 입니다.
\(f(x) = g^{-1}(h(x))\) 이므로
모든 실수 \(x\)와 정수 \(k\)에 대하여 \(h(x) \neq g(4k+2) = 4k+2\) 입니다.
\(\lim_{x \to -\infty} h(x) = -b\), \(\lim_{x \to \infty} h(x) = a\) 이므로
\(h(x)\)의 치역은 \((-b, a)\) 이며, 연속성에 따라 이 구간 내에 \(4k+2\) 가 포함되지 않아야 합니다.
따라서 \(-2 \lt h(x) \lt 2\) 이어야 하므로
\(a \le 2\), \(b \le 2\) 가 성립합니다.
- \(a=0, b=0\) 인 경우에는 \(f(x)=0\) 으로 실수 전체에서 미분가능합니다.
따라서 \(0 \le a \le 2\) 이고 \(0 \le b \le 2\) 입니다.
2) 첫째항과 공비의 최댓값을 구합니다.
- 첫째항 함수 \(T(a) = 4a^3 - 13a^2 + 12a - 2\) 은 닫힌구간 \([0, 2]\) 에서 극대, 극소를 비교할 때 \(a=2\) 에서 최댓값 \(T(2) = 2\) 를 가집니다.
- 공비 함수 \(R(b) = \frac{1}{3}b^3 - \frac{3}{2}b^2 + 2b\) 는 닫힌구간 \([0, 2]\) 에서 \(b=1\) 에서 극댓값 \(\frac{5}{6}\), \(b=2\) 에서 극솟값 \(\frac{2}{3}\)를 가지므로 최댓값은 \(\frac{5}{6}\) 입니다.
3) 급수의 최댓값을 도출합니다.
등비급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{T}{1-R}\) 은 첫째항이 최대이고 공비가 최대일 때 최대가 되므로: 최댓값은 \(\frac{2}{1 - 5/6} = 12\) 입니다.

1) 수열 \(\{a_n\}\)의 각 항의 변화 규칙을 탐색합니다.
주어진 점화식에 \(n=1, 2, 3, 4, \dots\) 를 대입하여 대수적으로 나열하면, - 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 홀수 항과 짝수 항의 일반식은 다음 과 같습니다.
\(a_{2n} = n^2,\ a_{2n+1} = -n(n+1)\)
2) 연속하는 두 항의 관계와 부분합 식을 수립합니다.
\(a_{2n} + a_{2n+1} = n^2 - n(n+1) = -n\) 입니다.
\(a_1 = 0\) 이므로
홀수 번째 부분합 \(S_{2n-1}\) 과 짝수 번째 부분합 \(S_{2n}\) 을 구합니다.
\(S_{2n} = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{2k} + a_{2k+1}) + a_{2n} = \sum_{k=1}^{n-1} (-k) + n^2 = -\frac{(n-1)n}{2} + n^2 = \frac{n(n+1)}{2} \gt 0\) \(S_{2n-1} = S_{2n} - a_{2n} = \frac{n(n+1)}{2} - n^2 = \frac{n(1-n)}{2} \le 0\) 입니다.
3) 음 수 합 조건을 만족시키는 자연수 \(m\)을 구합니다.
합이 \(-78 \lt 0\) 이므로
\(m\)은 홀수입니다.
\(m = 2n-1\) 이라 할 때, \(S_{2n-1} = \frac{n(1-n)}{2} = -78\) 이고 이를 정리하면
\(n(n-1) = 156 = 13 \times 12\) 입니다.
따라서 자연수 \(n = 13\) 입니다.
구하고자 하는 자연수 \(m = 2(13) - 1 = 25\) 입니다.

1) 조건 (가)와 (나)에 부합하는 상수 \(a, b\)를 결정합니다.
함수 \(g(x) = |t - f(x)|\)가 미분가능하지 않은 개수 \(h(t)\)는 함수 \(y=f(x)\)와 \(y=t\)가 만나는 지점 중 극대, 극소 및 점근선을 통과할 때 불연속이 될 수 있습니다.
\(f'(x) = \frac{-x^3 + (3-a)x^2 + (2a-b)x + b}{e^x}\) 입니다.
- \(f'(x) = 0\)의 서로 다른 실근이 3개인 경우, 불연속점이 2개이려면 극댓값이 같고 극솟값이 0이어야 하는데, 이 경우 \(t \to 0\) 의 극한 식의 합은 \(6\)이 되어 조건 (나)에 어긋납니다.
- \(f'(x) = 0\)의 서로 다른 실근이 2개(하나는 중근)인 경우, \(x=0\)에서 극대 혹은 극소를 가질 때 조건 (가)와 (나)를 모두 충족하게 됩니다.
따라서 \(f'(x) = 0\)의 중근이 \(x=0\) 이므로
\(a = b = 0\) 이 도출되며 \(f(x) = \frac{x^3}{e^x}\) 입니다.
2) 이계도함수를 구해 변곡점의 \(x\)좌표를 구합니다.
\(f'(x) = \frac{3x^2 - x^3}{e^x}\) 이고, 한번 더 미분하면: \(f''(x) = \frac{x(x^2 - 6x + 6)}{e^x}\) 입니다.
따라서 변곡점의 \(x\)좌표 집합 \(A\)의 원소는 \(x=0\) 또는 \(x^2-6x+6=0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\) 입니다.
3) \(f'(\alpha) f'(\beta)\)의 최솟값을 도출합니다.
서로 다른 두 변곡점의 좌표 \(\alpha, \beta\)는 이차방정식 \(x^2-6x+6=0\)의 두 근이므로
\(\alpha+\beta=6\), \(\alpha\beta=6\) 이 성립합니다.
\(f'(\alpha) f'(\beta) = \frac{\alpha^2(3-\alpha)}{e^\alpha} \cdot \frac{\beta^2(3-\beta)}{e^\beta} = \frac{\alpha^2\beta^2 (9 - 3(\alpha+\beta) + \alpha\beta)}{e^{\alpha+\beta}}\) \(= \frac{6^2 (9 - 3(6) + 6)}{e^6} = \frac{36 \times (-3)}{e^6} = -\frac{108}{e^6}\) 입니다.
(원소 중 하나가 \(0\)인 경우 곱은 \(0\) 이 되므로 최솟값은 \(-\frac{108}{e^6}\) 입니다.
)

1) 수열 \(\{b_n\}\)의 거듭제곱 점화관계를 수립합니다.
\(b_{n+1} = \frac{a_{n+1}-\sqrt{2}}{a_{n+1}+\sqrt{2}}\) 에 \(a_{n+1} = \frac{a_n^2+2}{2a_n}\) 를 대입하면: \(b_{n+1} = \frac{\frac{a_n^2+2}{2a_n}-\sqrt{2}}{\frac{a_n^2+2}{2a_n}+\sqrt{2}} = \frac{a_n^2 - 2\sqrt{2}a_n + 2}{a_n^2 + 2\sqrt{2}a_n + 2} = \left( \frac{a_n-\sqrt{2}}{a_n+\sqrt{2}} \right)^2 = (b_n)^2\) 입니다.
모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_{n+1} = (b_n)^2\) 이 성립하므로: \(b_8 = (b_7)^2 = (b_6)^4 = \dots = (b_1)^{128}\) 입니다.
따라서 \(p = 128\) 입니다.
2) 수열 \(\{d_n\}\)의 등비수열 점화관계를 수립합니다.
\(d_{n+1} = \frac{c_{n+1}-\sqrt{2}}{c_{n+1}+\sqrt{2}}\) 에 \(c_{n+1} = \frac{c_n+2}{c_n+1}\) 를 대입하면: \(d_{n+1} = \frac{\frac{c_n+2}{c_n+1}-\sqrt{2}}{\frac{c_n+2}{c_n+1}+\sqrt{2}} = \frac{(1-\sqrt{2})c_n + (2-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})c_n + (2+\sqrt{2})} = \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \left( \frac{c_n-\sqrt{2}}{c_n+\sqrt{2}} \right) = d_1 d_n\) 입니다.
모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(d_{n+1} = d_1 d_n\) 이 성립하므로
\({d_n}\)은 공비가 \(d_1\) 인 등비수열입니다.
\(d_8 = (d_1)^7 d_1 = (d_1)^8\) 이며, 따라서 \(q = 8\) 입니다.
3) \(a_8 = c_m\)을 만족하는 \(m\)을 도출합니다.
초기조건 \(a_1 = c_1 = 1\) 에 의해 \(b_1 = d_1 = \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\) 입니다.
따라서 \(b_8 = (b_1)^{128} = (d_1)^{128} = d_{128}\) 이 성립합니다.
두 수열의 정의를 대입하면: \(\frac{a_8-\sqrt{2}}{a_8+\sqrt{2}} = \frac{c_{128}-\sqrt{2}}{c_{128}+\sqrt{2}} \implies a_8 = c_{128}\) 입니다.
따라서 \(m = 128\) 입니다.

1) 조건 (가)와 (나)를 이용해 계수 \(a\)를 구하고 \(b\)의 범위를 설정합니다.
실수전체에서 \(f(x)\)가 단조증가하므로
\(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0\)의 판별식 \(D/4 = a^2 - 3b \le 0\) 이어야 합니다.
조건 (나)에서 이차함수 \(f'(x)\)가 \(x=-1\) 에서 최솟값을 가지므로 대칭축 \(x = -\frac{a}{3} = -1 \implies a = 3\) 입니다.
범위에 대입하면
\(9 - 3b \le 0 \implies b \ge 3\) 입니다.
2) 조건 (다)의 접선 공식을 수립하여 \(b\)의 값을 이끌어냅니다.
곡선 위의 점 \((-2, -3)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(-2) = 12 - 4a + b = b\) 입니다.
따라서 접선식 \(g(x) = f'(-2)(x+2) + f(-2) = b(x+2) - 3 = bx + 2b - 3\) 입니다.
\(f'(2) = 12 + 4(3) + b = b + 24\) 이므로
이를 \(g(x)\)에 대입하면: \(g(f'(2)) = b(b+24) + 2b - 3 = 117 \implies b^2 + 26b - 120 = 0\) 입니다.
\((b+30)(b-4) = 0\) 에서 \(b \ge 3\) 조건을 만족하는 실수는 \(b = 4\) 입니다.
3) 상수 \(c\)를 구하여 함수를 정한 뒤 함숫값을 계산합니다.
점 \((-2, -3)\) 이 \(y=f(x)\) 의 점이므로: \(f(-2) = -8 + 4a - 2b + c = -8 + 12 - 8 + c = c - 4 = -3 \implies c = 1\) 입니다.
따라서 함수는 \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 4x + 1\) 이며, 구하고자 하는 함숫값 \(f(3) = 27 + 27 + 12 + 1 = 67\) 입니다.

1) 첫째항 \(T_0\)의 넓이를 구한다.
규칙 (가)에 의해 직각삼각형 \(AB_0C_0\)의 세 변의 길이는 다음과 같다.
\(BC_0 = 6\), \(AB_0 = \frac{6}{\cos\frac{5\pi}{12}}\), \(AC_0 = 6\tan\frac{5\pi}{12}\)
선분 \(B_0C_0\)를 지름으로 하는 반원 \(G_0\)의 반지름은 \(3\)이므로 호 \(B_0B_1\)에 대응하는 중심각은 \(\frac{\pi}{6}\)이다.
따라서 첫 번째 넓이 \(T_0\)는 부채꼴 \(OB_0B_1\)의 넓이에서 삼각형 \(OB_0B_1\)의 넓이를 뺀 활꼴의 넓이가 된다.
\(T_0 = \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \times 3^2 \times \sin\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}\left(\frac{\pi}{3} - 1\right)\)이다.

2) 닮음비와 공비를 구한다.
선분 \(B_0B_1\)의 길이는 현의 길이에 의해 \(B_0B_1 = 6\cos\frac{5\pi}{12}\)이다.
직각삼각형 \(AB_1C_1\)과 \(AB_0C_0\)의 닮음비에서:
\(AB_1 = AB_0 - B_0B_1 = \frac{6}{\cos\frac{5\pi}{12}} - 6\cos\frac{5\pi}{12}\)
닮음비 \(r_{\text{닮음}} = \frac{AB_1}{AB_0} = 1 - \cos^2\frac{5\pi}{12} = \sin^2\frac{5\pi}{12}\)이다.
넓이의 공비는 닮음비의 제곱이므로 \(R = \left(\sin^2\frac{5\pi}{12}\right)^2 = \sin^4\frac{5\pi}{12}\)이다.

3) 급수의 합을 계산한다.
\(\sin^2\frac{5\pi}{12} = \frac{1 - \cos\frac{5\pi}{6}}{2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}\)이므로,
공비 \(R = \left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{7+4\sqrt{3}}{16}\)이다.
따라서 등비급수의 합은 다음과 같다.
\(\sum_{n=0}^{\infty} T_n = \frac{T_0}{1-R} = \frac{\frac{9}{4}(\frac{\pi}{3}-1)}{1 - \frac{7+4\sqrt{3}}{16}} = \frac{\frac{9}{4}(\frac{\pi}{3}-1)}{\frac{9-4\sqrt{3}}{16}} = \frac{36}{9-4\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{3}-1\right)\)
\(\quad = \frac{36(9+4\sqrt{3})}{81-48}\left(\frac{\pi}{3}-1\right) = \frac{12(9+4\sqrt{3})}{11}\left(\frac{\pi}{3}-1\right) = \left(\frac{108}{11} + \frac{48}{11}\sqrt{3}\right)\left(\frac{\pi}{3}-1\right)\)
따라서 \(p = \frac{108}{11}\), \(q = \frac{48}{11}\)이다.

1) 주어진 식을 구분구적법 형태로 변형한다.
구하고자 하는 극한값은 다음과 같이 표현할 수 있다.
\(L = \lim_{n\to\infty} \left\{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^2 \ln n - \frac{4}{n^4} \sum_{k=1}^n k^3 \ln(k+n) \right\}\)
이때 \(\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\)임을 이용하면,
\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 \ln n = \frac{(n+1)^2}{n^2} \ln n = \frac{4}{n^4} \left( \frac{n^2(n+1)^2}{4} \right) \ln n = \frac{4}{n^4} \left( \sum_{k=1}^n k^3 \right) \ln n\)이다.
따라서 식을 합치면 다음과 같이 정리된다.
\(L = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{n^4} \sum_{k=1}^n k^3 \left\{ \ln n - \ln(k+n) \right\} = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{n^4} \sum_{k=1}^n k^3 \ln\left(\frac{n}{k+n}\right)\)
\(\quad = -4 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^3 \ln\left(\frac{k+n}{n}\right) \frac{1}{n} = -4 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^3 \ln\left(\frac{k}{n}+1\right) \frac{1}{n}\)이다.

2) 정적분으로 변환하여 계산한다.
정적분의 정의에 의해 다음과 같이 적분식으로 바뀐다.
\(L = -4 \int_{0}^{1} x^3 \ln(x+1)\,dx\)이다.
부분적분법을 적용하기 위해 \(u(x) = \ln(x+1)\), \(v'(x) = x^3\)으로 설정하면,
\(u'(x) = \frac{1}{x+1}\), \(v(x) = \frac{1}{4}x^4\)이므로
\(\int_{0}^{1} x^3 \ln(x+1)\,dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 \ln(x+1) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{4}\frac{x^4}{x+1}\,dx = \frac{1}{4}\ln 2 - \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \left( x^3 - x^2 + x - 1 + \frac{1}{x+1} \right) dx\)
\(\quad = \frac{1}{4}\ln 2 - \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + \ln(x+1) \right]_{0}^{1}\)
\(\quad = \frac{1}{4}\ln 2 - \frac{1}{4} \left( -\frac{7}{12} + \ln 2 \right) = \frac{7}{48}\)이다.
따라서 최종 극한값은 다음과 같다.
\(L = -4 \times \frac{7}{48} = -\frac{7}{12}\)이다.

1) 공통접선 조건을 이용해 미지수를 구한다.
두 곡선 \(y = \ln(ax)\)와 \(y = b^2 x^2 - bx + 1\)이 한 점 \(P(\alpha, \beta)\)에서 만나고 접하므로 접선의 기울기가 같다.
\(f(x) = \ln(ax) \implies f'(x) = \frac{1}{x}\)
\(g(x) = b^2 x^2 - bx + 1 \implies g'(x) = 2b^2 x - b\)
\(f'(\alpha) = g'(\alpha)\)에서 \(\frac{1}{\alpha} = 2b^2 \alpha - b \implies 2b^2 \alpha^2 - b\alpha - 1 = 0 \implies (2b\alpha+1)(b\alpha-1) = 0\)이다.
\(a, b\)가 양수이고 로그의 진수 조건에 의해 \(x \gt 0\)이므로 \(\alpha \gt 0\)이므로
따라서 \(\alpha = \frac{1}{b}\)이다.
이때 두 곡선의 \(y\)좌표가 같으므로 \(f(\alpha) = g(\alpha)\)에서 \(\ln(a\alpha) = \ln\frac{a}{b} = b^2 \left(\frac{1}{b}\right)^2 - b\left(\frac{1}{b}\right) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1\)이다.
따라서 \(\frac{a}{b} = e \implies a = eb\)이며, 접점 \(P\)의 좌표는 \(P\left(\frac{1}{b}, 1\right)\)이다.

2) 선분 \(AB\)의 길이 식을 유도하고 최솟값을 찾는다.
점 \(P\)를 지나는 직선의 기울기를 \(-m\) (\(m \gt 0\))이라 하면 접선식은 \(y - 1 = -m\left(x - \frac{1}{b}\right)\)이다.
이 직선의 축 절편을 구하면 \(A\left(\frac{1}{b} + \frac{1}{m}, 0\right)\), \(B\left(0, 1 + \frac{m}{b}\right)\)이다.
선분 \(AB\)의 길이의 제곱을 \(F(m)\)이라 하면:
\(F(m) = \left(\frac{1}{b} + \frac{1}{m}\right)^2 + \left(1 + \frac{m}{b}\right)^2\)이다.
\(F(m)\)을 미분하여 임계점을 구하면:
\(F'(m) = 2\left(\frac{1}{b} + \frac{1}{m}\right)\left(-\frac{1}{m^2}\right) + 2\left(1 + \frac{m}{b}\right)\left(\frac{1}{b}\right) = \frac{2}{b^2 m^3}(m+b)(m^3-b) = 0\)에서
\(m \gt 0\)이므로 \(m = b^{1/3}\)일 때 \(F(m)\)이 최소가 된다.

3) 최솟값을 이용해 \(ab\)의 값을 구한다.
최소 거리 \(AB = 8\)이므로 \(F(b^{1/3}) = 64\)이다.
\(F(b^{1/3}) = \left(\frac{1}{b} + b^{-1/3}\right)^2 + \left(1 + b^{1/3}/b\right)^2 = \left(b^{-1/3}(b^{-2/3}+1)\right)^2 + \left(1+b^{-2/3}\right)^2 = \left(b^{-2/3}+1\right)^3 = 64\)이다.
따라서 \(b^{-2/3} + 1 = 4 \implies b^{-2/3} = 3 \implies b = 3^{-3/2} = \frac{1}{3\sqrt{3}}\)이다.
그에 따라 \(a = eb = \frac{e}{3\sqrt{3}}\)이 되므로,
\(ab = e b^2 = e \times \frac{1}{27} = \frac{e}{27}\)이다.

1) 불연속점의 분포와 개수 규칙을 파악한다.
함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \((0, n]\)에서 불연속이 되는 \(x\)좌표는 로그의 진수 조건 경계에 해당하므로,
\(\log_7(3x+1) = k \implies 3x+1 = 7^k \implies x = \frac{7^k-1}{3}\) (단, \(k\)는 정수)이다.
각 \(k\)값에 따른 \(x\)좌표는 다음과 같다.
\(x_1 = 2\), \(x_2 = 16\), \(x_3 = 114\), \(x_4 = 800\), \(x_5 = 5602\), \(\dots\)
구간 \((0, 2025)\) 내에서 \(f(x)\)의 불연속인 점의 개수는 주기 \(n\)의 범위에 따라 다음과 같이 결정된다.
- \(n=2\)일 때: \(0\)개
- \(2 \lt n \le 16\)일 때: \(1\)개
- \(16 \lt n \le 114\)일 때: \(2\)개
- \(114 \lt n \le 800\)일 때: \(3\)개
- \(800 \lt n \le 2025\)일 때: \(4\)개

2) 각 불연속 개수에 따른 자연수 \(n\)의 최댓값을 구한다.
- 불연속 개수 7개 (\(a_7\)): \(n\)이 최대이려면 \(800 \lt n \le 2025\)에 속해야 하며, 구간 \((0, n)\)의 불연속점 \(4\)개가 한 번 반복되고 나머지 구간 \((n, 2025)\)에서 불연속점이 2개(\(x=2010, 2024\)) 존재해야 하므로 \(2025 - n \ge 16 + 1 \implies n \le 2008\)이다. 따라서 \(a_7 = 2008\)이다.
- 불연속 개수 13개 (\(a_{13}\)): 구간 \((0, n)\)의 불연속점 4개가 두 번 반복(8개)되고 나머지 구간 \((2n, 2025)\)에서 불연속점이 3개(\(x=1912, 1926, 2024\)) 존재해야 하므로 \(2025 - 2n \ge 114 \implies 2n \le 1911 \implies n \le 955.5\)이다. 따라서 \(a_{13} = 955\)이다.
- 불연속 개수 19개 (\(a_{19}\)): \(114 \lt n \le 800\) 범위에서 불연속점 3개가 네 번 반복(12개)되고 나머지 구간 \((4n, 2025)\)에서 불연속점이 3개(\(x=1910, 1924, 2022\)) 존재해야 하므로 \(2025 - 4n \ge 114 \implies 4n \le 1911 \implies n \le 477.75\)이다. 따라서 \(a_{19} = 477\)이다.
- 불연속 개수 25개 (\(a_{25}\)): \(114 \lt n \le 800\) 범위에서 불연속점 3개가 여섯 번 반복(18개)되고 나머지 구간 \((6n, 2025)\)에서 불연속점이 1개(\(x=2024\)) 존재해야 하므로 \(2025 - 6n \ge 2 \implies 6n \le 2023 \implies n \le 337.16\)이다. 따라서 \(a_{25} = 337\)이다.

1) 사잇값 정리를 이용해 근 \(b_n\)의 존재를 증명한다.
조건 (가), (나)에 의해 \(f(x)\)는 연속이고 증가하므로, 사잇값 정리에 의해 자연수 \(n\)에 대하여 \(f(b_n) = 2n\pi - \frac{\pi}{2}\)를 만족하는 양수 \(b_n\)이 유일하게 존재한다.

2) 정적분을 적절히 변형하여 부등식을 도출한다.
주어진 \(g(x) = 1 - \int_0^x g(t)\cos f(t) dt\)의 양변을 미분하면 \(g'(x) = -g(x)\cos f(x) \implies \frac{g'(x)}{g(x)} = -\cos f(x)\)이다.
이를 적분하여 정리하면 \[\begin{aligned} \ln\frac{g(a_n)}{g(b_n)} &= \int_{b_n}^{a_n} \frac{g'(t)}{g(t)}\,dt \\ &= -\int_{b_n}^{a_n} \cos f(t)\,dt \end{aligned}\]이다.
역함수 \(y = f^{-1}(x) = h(x)\)를 이용하여 \(t = h(u)\)로 치환적분하면:
\[-\int_{b_n}^{a_n} \cos f(t) dt = -\int_{f(b_n)}^{f(a_n)} h'(u)\cos u du = \int_{2n\pi - \frac{\pi}{2}}^{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos u}{f'(h(u))} du\]이다.

3) \(g(a_n)\)의 극한값을 계산한다.
조건 (다)에 의해 각 구간에서 피적분함수의 크기를 비교하면 다음과 같은 부등식이 성립한다.
\[\ln\frac{g(a_n)}{g(b_n)} \le -4 - \frac{\pi}{2}\]이므로 \[g(a_n) \le e^{-4 - \pi/2} g(b_n)\]이다.
유사하게 다음 구간에서도 부등식을 도출하면 \[g(b_n) \le e^{4 - \pi/2} g(a_{n-1})\]이 성립한다.
두 식을 연립하면 \[0 \lt g(a_n) \le e^{-\pi} g(a_{n-1})\]가 되므로,
수열의 극한의 성질에 의하여 \[0 \lt g(a_n) \le e^{-n\pi} g(a_0)\]이다.
따라서 샌드위치 정리에 의해 \[\lim_{n\to\infty} g(a_n) = 0\]이다.

1) 구간별로 함수 \(f(x)\)를 정의하고 개형을 파악한다.
- \(x \le 0\)일 때: \(f(x) = x^2+4x+3\) (꼭짓점 \((-2, -1)\), 절편 \(x=-3, -1\))
- \(x \gt 0\)일 때: \(f(x) = -(x+1)^2 e^{-x} + a\)
\(x \gt 0\)에서 \(f(x)\)의 증감을 파악하기 위해 미분하면 \(f'(x) = (x^2-1)e^{-x}\)이므로,
\(x=1\)에서 극소이자 최솟값 \(f(1) = -4e^{-1} + a\)를 갖는다. 또한 \(\lim_{x\to 0+} f(x) = a-1\)이고 \(\lim_{x\to\infty} f(x) = a\)이다.

2) 불연속 조건으로부터 \(a\)의 값을 구한다.
\(g(t)\)의 좌우극한 차이가 \(2\)보다 큰 불연속점이 존재하려면 \(|f(x)|\)의 극대, 극소 및 경계값이 일치해야 한다.
- 경우 1: \(x \gt 0\)에서 \(f(x) \gt 0\)인 경우
\(\lim_{x\to 0+} |f(x)| = |a-1| = 1 \implies a=2\) (이때 \(k=1\)에서 불연속 발생)
- 경우 2: \(x \gt 0\)에서 \(f(x) \le 0\)인 부분이 존재하는 경우
\(\lim_{x\to 0+} |f(x)| = |f(1)| \implies a-1 = 4e^{-1}-a \implies a = 2e^{-1} + \frac{1}{2}\)
\(\lim_{x\to\infty} |f(x)| = a = 1 \implies a=1\) (이때 \(k=1\)에서 불연속 발생)
따라서 양수 \(a\)의 값은 크기 순으로 \(a_1 = 4e^{-1}-1\), \(a_2 = 1\), \(a_3 = 2\), \(a_4 = 2e^{-1}+\frac{1}{2}\)이며 개수 \(n=4\)이다.

3) \(a = a_1\)일 때 최댓값 \(M\)과 수열의 합을 구한다.
\(a = a_1 = 4e^{-1}-1\)일 때 \(|f(x)|\)의 그래프 개형 분석에 의해 \(g(t)\)의 좌우극한 합의 최댓값 \(M = 12\)가 된다.
수열의 합은 \[\sum_{k=1}^4 a_k = (4e^{-1}-1) + 1 + 2 + (2e^{-1}+0.5) = \frac{5}{2} + 8e^{-1}\]이다.

1) 좌표축을 설정하고 점 \(P, Q\)의 좌표를 구한다.
직각삼각형 \(ABC\)에 대하여 \(B(0,0)\), \(C(4,0)\), \(A(0,3)\)으로 좌표평면을 설정한다.
점 \(P\)는 선분 \(BC\)를 \(1:a\)로 내분하므로 \(P\left(\frac{4}{1+a}, 0\right)\)이다.
점 \(Q\)는 선분 \(CA\)를 \(1:a\)로 내분하므로 \(Q\left(\frac{4a}{1+a}, \frac{3}{1+a}\right)\)이다.

2) \(AP = PQ\) 조건을 통해 \(a\)의 값을 도출한다.
\(AP^2 = \left(\frac{4}{1+a}\right)^2 + 3^2 = \frac{16 + 9(1+a)^2}{(1+a)^2}\)
\(PQ^2 = \left(\frac{4a-4}{1+a}\right)^2 + \left(\frac{3}{1+a}\right)^2 = \frac{16(a-1)^2 + 9}{(1+a)^2}\)
\(AP^2 = PQ^2\)에서 분모를 소거하고 전개하여 정리하면:
\(9(1+a)^2 + 16 = 16(a-1)^2 + 9 \implies 7a^2 - 50a = 0\)이 된다.
\(a \gt 0\)이므로 \(a = \frac{50}{7}\)이다.

3) 코사인값과 삼각형의 넓이를 계산한다.
\(a = \frac{50}{7}\)일 때 \(1+a = \frac{57}{7}\)이므로 각 좌표를 대입하여 계산하면,
\(QA^2 = \frac{25a^2}{(1+a)^2} = \frac{62500}{3249}\) 이고, \(AP^2 = PQ^2 = \frac{30025}{3249}\) 이다.
삼각형 \(APQ\)에서 \(\angle APQ = \theta\)라 하면 제이코사인법칙에 의해:
\(\cos\theta = \frac{AP^2 + PQ^2 - QA^2}{2 \times AP \times PQ} = 1 - \frac{QA^2}{2AP^2} = 1 - \frac{62500}{2 \times 30025} = 1 - \frac{1250}{1201} = -\frac{49}{1201}\)이다.
삼각형 \(APQ\)의 넓이 \(S\)는 다음과 같다.
\(\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \frac{1200}{1201}\)이므로,
\(S = \frac{1}{2} AP^2 \sin\theta = \frac{1}{2} \times \frac{30025}{3249} \times \frac{1200}{1201} = \frac{15000}{3249} = \frac{5000}{1083}\)이다.

1) 두 곡선의 교점 및 함수 \(h(x)\)를 정의한다.
두 곡선 \(y = \sqrt{e^x \cos x}\)와 \(y = \sqrt{e^x \sin 2x}\)의 교점의 \(x\)좌표는 \[\cos x = \sin 2x = 2\sin x\cos x\]에서
\[\cos x(1-2\sin x) = 0\]이므로 \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\)이다.
\[0 \le x \le \frac{\pi}{6}\]에서 \(f(x) \ge g(x)\)이고, \(\frac{\pi}{6} \lt x \le \frac{\pi}{2}\)에서 \[f(x) \lt g(x)\]이므로
\(h(x) = \begin{cases} \sqrt{e^x\cos x} & (0 \le x \le \frac{\pi}{6}) \\ \sqrt{e^x\sin 2x} & (\frac{\pi}{6} \lt x \le \frac{\pi}{2}) \end{cases}\) 이다.

2) 입체도형의 부피 적분식을 세운다.
\(x=t\)일 때 자른 단면이 한 변의 길이가 \(h(t)\)인 정삼각형이므로 단면의 넓이 \(S(t) = \frac{\sqrt{3}}{4} h(t)^2\)이다.
따라서 입체도형의 부피 \(V\)는 다음과 같다.
\(V = \int_{0}^{\pi/2} S(t)\,dt = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sqrt{3}}{4} e^t \cos t\,dt + \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{\sqrt{3}}{4} e^t \sin 2t\,dt\)
부분적분법을 통해 각 정적분을 계산하면:
\(\int_{0}^{\pi/6} e^t \cos t\,dt = \left[ \frac{e^t(\sin t+\cos t)}{2} \right]_{0}^{\pi/6} = \frac{e^{\pi/6}(1+\sqrt{3})}{4} - \frac{1}{2}\)
\(\int_{\pi/6}^{\pi/2} e^t \sin 2t\,dt = \left[ \frac{e^t(\sin 2t - 2\cos 2t)}{5} \right]_{\pi/6}^{\pi/2} = \frac{2e^{\pi/2}}{5} - \frac{e^{\pi/6}(\sqrt{3}-2)}{10}\)이다.

3) 부피 \(V\)를 구하고 최댓값을 구한다.
두 정적분을 대입하여 부피 \(V\)를 계산하고 정리하면:
\(80V + 10\sqrt{3} = 9(1+\sqrt{3})e^{\pi/6} + 8\sqrt{3}e^{\pi/2}\)이다.
따라서 비교하면 \(a = 9(1+\sqrt{3})\), \(b = \frac{\pi}{6}\), \(c = 8\sqrt{3}\)이다.